Cálculo Infinitesimal de Varias Variables by Juan de Bugos

By Juan de Bugos

L. a. presente obra va dirigida a aquellos estudiantes que, después de haber seguido un primer curso de cálculo infinitesimal, de una variable, deben continuar su formación en esta disciplina, ya sean alumnos de ciencias matemáticas o físicas, de ingeniería o arquitectura, de informática, de ciencias económicas o empresariales

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Si tenemos presente la definición de límite mediante sucesiones, resulta evidente que esta propiedad se verifica como consecuencia de su homólogo para sucesiones (véase [03J,1). [12]1 Observación Dada una funciónf: e -t IRq, definida en un conjunto e e IRP, y si a E IRP es un punto de acumulación de e, para comprobar que 1 E IRq es el límite de f en a, es suficiente con encontrar una función real y positiva tp, definida «cerca de a», que tenga límite O en a y sea tal que IIf(x) - 111 < qJ(x) para x cerca de a.

S *~tªcuando f y g son funqi()nes 'vectoriales (o sea, si toman valor en ~q con q > 1), 10 que se demuestra acudiendo a las componentes de f y g. (**) En este caso se necesita que sea g(x) #- O «cerca de a» y m #- O. (*) La expresión «para x cerca de cierto entorno reducido de U». com/ 34 TOPOLOGÍA, LÍMITES Y CONTINUIDAD Demostración Cuando se estudian los problemas de convergencia en IR, se ve que las anteriores propiedades se verifican si, en lugar de aludir a límites de funciones en un punto a, se refieren a límites de sucesiones reales.

Com/ 28 TOPOLOGÍA, LÍMITES Y CONTINUIDAD - Para la sucesión de los puntos (x n, Yn) = (1/n, 1/n), que tiene límite (O, O), la función f tiene límite 0, pues: 1/n3 1 - -=-- - - = - -2 (1 /n2) - (1 /n) n- n - Para la sucesión de puntos (x m Yn) función f tiene límite 1, pues: f(x m Yn) = = ° -t (cuando n -t 00) (1 /Jn, 1/n - 1/n2), que tiene límite (O, O), la ~ G1- :2) = 1 - 1 ~ -t (cuando n 1 00) -t n2 [11]4 Criterio de Cauchy Sea /: e - t ~q una función, definida en un conjunto e c: ~P, y sea a E ~p un punto de acumulación de C.

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