Algebra und Diskrete Mathematik 1: Grundbegriffe der by Dietlinde Lau

By Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. In diese mathematischen Teilgebiete führt Band 1 des zweibändigen Lehrbuchs umfassend ein. Dabei ermöglichen klar herausgearbeitete Lösungsalgorithmen, viele Beispiele und ausführliche Beweise einen raschen Zugang zum Thema. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben hilft bei der Erarbeitung des Stoffs und zeigt darüber hinaus, welche unterschiedlichen Anwendungsmöglichkeiten es gibt. Die three. Auflage wurde korrigiert und erweitert.

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Wir zeigen [b] ⊆ [a]. Bezeichne x ein beliebiges Element aus [b]. Dann gilt (b, x) ∈ R. , x ∈ [a]. Also gilt [b] ⊆ [a]. Analog zeigt man [a] ⊆ [b]. Folglich haben wir [a] = [b]. (3): Angenommen, es existieren a, b ∈ A mit [a] ∩ [b] = ∅ und [a] = [b]. , es gilt (a, c) ∈ R und (b, c) ∈ R. Wegen der Symmetrie von R haben wir (c, b) ∈ R und (wegen der Transitivit¨ at von R) (a, b) ∈ R. Nach (2) gilt dann [a] = [b], im Widerspruch zur Annahme. Definition Sei A eine nichtleere Menge. Nichtleere Mengen Ai (i ∈ I) nennt man eine Zerlegung (Partition, Klasseneinteilung) der Menge A, wenn A= Ai ∧ (∀i, j ∈ I : Ai = Aj ∨ Ai ∩ Aj = ∅) i∈I gilt.

U e(tni )). u e(t) := fiA (e Seien u, u Abbildungen von V ar in A. Wir schreiben u =xk u , ur alle j = k (j, k ∈ N). falls u(xj ) = u (xj ) f¨ Es sei A := (A; (fi )i∈I , (Rj )j∈J ) eine Struktur der Signatur δ und u : V ar −→ A eine Abbildung. , u e(tmj )) ∈ RjA ; ur alle ◦ ∈ J0 ; vA,u (¬α) := ¬(vA,u (α)) und vA,u (α ◦ β) := vA,u (α) ◦ vA,u (β) f¨ v (ϕ) = 1 f¨ u r alle u mit u = xk u vA,u (∀xk ϕ) = 1 genau dann wenn A,u V (wir schreiben: vA,u (∀xk ϕ) = u , u=x u vA,u (ϕ)); k vA,u (∃xk ϕ) = 1 genau dann, wenn W es ein u mit u =xk u und vA,u (ϕ) = 1 gibt (wir schreiben: vA,u (∃xk ϕ) = u , u=x u vA,u (ϕ) ).

Geordnete Liste der Konjunktionen, in der die Konjunktionen aus der disjunktiven Normalform nach der Anzahl der auftretenden Negationszeichen geordnet sind: Nummer der Konjunktionen 1. 2. 3. 4. 5. xyz xyz xyz x yz xyz Zusammenfassungen mittels der Regel xy∨xy = x (unter Beachtung von xy = yx) sind dann nur bei Konjunktionen m¨ oglich, die zu benachbarten Gruppen“ ” in obiger Liste geh¨ oren. Man erh¨ alt dann folgende 1. , 2. 3. 5. 5. xy yz xz x y. Sortiert man nun die erhaltenen Konjunktionen nach gleichen Variablen und anschließend nach der Anzahl der auftretenden Negationszeichen, so erh¨alt man die 2.

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